La filtered back projection (FBP)

Per evitare il ricorso all'interpolazione si affronta il problema in maniera totalmente diversa. La formula di inversione della trasformata di Fourier

$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{... ..._1,\omega_2)e^{j(\omega_1x_1+\omega_2x_2)} d\omega_1d\omega_2$$ (18)

utilizzando le coordinate polari definite da

$$\omega_1=\omega\cos\varphi \omega_2=\omega\sin\varphi$$

$$d\omega_1 d\omega_2 = \omega d\omega d\varphi$$

può essere scritta come segue ( $0<\varphi<2\pi$ , $0<\omega<+\infty$)

$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\inf... ...j\omega(x_1\cos\varphi+x_2\sin\varphi)}\omega d\omega d\varphi$$

L'integrale su $\varphi$ può essere diviso, considerando prima $\varphi$ tra 0 e $\pi$, poi $\varphi$ tra $\pi$ e $2\pi$, e riscritto come segue

$$f(x_1,x_2) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\pi} \left[\int_0^{+\infty}\hat f(\om... ...hi) e^{j\omega(x_1\cos\varphi+x_2\sin\varphi)} \omega d\omega\right] d\varphi +$$ (19)

$$+ \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\pi} \left[ \int_0^{+\infty}\hat f(\o... ...mega(x_1\cos(\varphi+\pi)+x_2\sin(\varphi+\pi))} \omega d\omega\right] d\varphi$$

grazie alle proprietà della trasformata di Fourier $\hat f(\omega,\varphi+\pi)=\hat f(-\omega,\phi)$ e sostituendo $\omega$ in $-\omega$ si ha

$$f(x_1,x_2) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\pi} \left[\int_0^{+\infty}\hat f(\om... ...hi) e^{j\omega(x_1\cos\varphi+x_2\sin\varphi)} \omega d\omega\right] d\varphi +$$ (20)

$$+ \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\pi} \left[ \int_{-\infty}^0\hat f(\o... ...phi) e^{j\omega(x_1\cos\varphi+x_2\sin\varphi)} -\omega d\omega\right] d\varphi$$

ovvero

$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\pi} \left[ \int_{-... ...\omega(x_1\cos\varphi+x_2\sin\varphi)} d\omega\right] d\varphi$$ (21)

Ricordando che, per la (16), vale

$$\hat f(\omega\underline\theta)=\hat g_{\underline\theta}(\omega)$$

l'equazione precedente può essere riscritta nella seguente:

$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\pi} \left[ \int_{-... ...\omega(x_1\cos\varphi+x_2\sin\varphi)} d\omega\right] d\varphi$$ (22)

Nella (23) è presente un'operazione di filtraggio delle proiezioni, in cui il filtro è rappresentato da $\vert\omega\vert$. Tale filtro è detto a rampa, amplifica le alte frequenze e con loro il rumore eventualmente presente sulle proiezioni. Poichè nella realtà non si verificano mai condizioni di assenza di rumore, gli effetti sulla soluzione di questo filtraggio possono essere disastrosi. Per evitare tale inconveniente vengono impiegati, assieme al filtro a rampa, filtri passabasso (ad es. di Butterworth o di Hanning).

Figura 5: Schema del procedimento base della Filtered Back Projection