Il Fourier slice theorem

Il Fourier slice theorem fornisce una relazione tra le proiezioni di una funzione e la funzione stessa; esso afferma infatti che la trasformata di Fourier della proiezione di f nella direzione $\theta$ ha valori coincidenti con quelli della trasformata di Fourier bidimensionale di f calcolata lungo la retta di direzione $\theta$ passante per l'origine dello spazio delle frequenze (fig. 3)

Figura 3: Il Fourier slice theorem afferma che la trasformata di Fourier della proiezione di f nella direzione $\theta$ è uguale alla trasformata di Fourier di f calcolata sulla retta di direzione $\theta$ passante per l'origine dello spazio delle frequenze.

Sia $\hat f(\omega_1,\omega_2)$ la trasformata di Fourier bidimensionale della soluzione $f(x_1,x_2)$ e $\hat g_{\underline \theta}(\omega)$ la trasformata di Fourier di una proiezione $g_{\underline \theta}(s)$. Possiamo scrivere:

$$\hat g_{\underline\theta}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} g_{\underline\theta}(s)e^{-j\omega s}ds=$$ (14)

$$=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega s} (\int_{-\infty}^{+\infty} f(s\cos\phi-t\sin\phi,s\sin\phi+t\cos\phi)dt)ds$$

Utilizzando le variabili $x_1,x_2$ si ha:

$$s\underline\theta+t\underline\theta^\bot = (s\cos\phi-t\sin\phi,s\sin\phi+t\cos\phi) = (x_1,x_2)= \underline{x}$$

$$dsdt = dx_1dx_2$$

$$\omega s = \omega \underline \theta\cdot\underline x \;\;\;\;\; (poich\grave{e}\; \underline\theta \underline\theta^\bot=0)$$

da cui

$$\hat g_{\underline\theta}(\omega)=\int\int_{-\infty}^{+\inf... ...eta \underline x} dx_1 dx_2 = \hat f(\omega\underline\theta)$$ (15)

Il significato di questo teorema, espresso dalla (16) è il seguente: i valori della trasformata di Fourier della proiezione di $f$ lungo la direzione $\underline \theta$ coincidono con i valori della trasformata di Fourier di $f$ lungo la retta di direzione $\underline \theta$ passante per l'origine del piano $\omega_1,\omega_2$. Il risultato precedente fornisce immediatamente un metodo per calcolare la $f(x_1,x_2)$ cercata: considerando le proiezioni per tutti gli angoli e facendone la trasformata di Fourier si possono determinare i valori di $\hat f(\omega_1,\omega_2)$ lungo linee radiali (fig. 4).

Figura: Nel caso discreto il campionamento di $\hat f(\omega_1,\omega_2)$ lungo linee radiali causa perdita di precisione alle alte frequenze.

Per ottenere la soluzione si può quindi applicare l'antitrasformata di Fourier:

$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat... ...\omega_2)e^{j(\omega_1 x_1+\omega_2 x_2)} d\omega_1 d\omega_2$$ (16)

Nella realtà è possibile effettuare solo un numero finito di proiezioni, quindi, la trasformata di Fourier della $f(x_1,x_2)$ sarà nota solo su un numero finito di linee radiali (come in fig. 4). Come sarà successivamente chiarito, per applicare la (17) nel caso discreto, servono i valori di $\hat f(\omega_1,\omega_2)$ su di una griglia quadrata, i quali possono essere ottenuti tramite interpolazione dei valori conosciuti; è però necessario notare che alle alte frequenze il risultato di tale approssimazione sarà via via meno preciso, data la particolare disposizione dei valori di $\hat f$ noti con esattezza.
A questo punto è necessario definire l'operatore di retroproiezione, cioè l'aggiunto di $(R f)$. Se indichiamo con $f\in X$ un generico elemento dello spazio delle immagini e con $g\in Y$ un elemento dello spazio delle proiezioni, è possibile scrivere il prodotto scalare nello spazio $Y$:

$$(Rf,g)_Y= \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[ (Rf)(s,\underline\theta)g(s,\underline\theta)ds\right]d\varphi$$

ovvero

$$(Rf,g)_Y= \int_{0}^{\pi}\left\{ \int_{-\infty}^{+\infty}\lef... ...theta^\bot) dt \right] g(s,\underline\theta)ds\right\}d\varphi$$

se si sostituiscono le variabili $\{s,t\}$ con $\{x_1,x_2\}$ e si scambia l'ordine di integrazione

$$(Rf,g)_Y =\int\int_{-\infty}^{+\infty}f(x_1,x_2)[ \int_{0}^{... ...n\varphi,\underline\theta)d\varphi]dx_1dx_2=(f,R^\char93 g)_X$$

Quindi

$$(f,R^\char93 g)_X=\int\int_{-\infty}^{+\infty} f(x_1,x_2)(R^\char93 g)(x_1,x_2) dx_1 dx_2$$

$$(R^\char93 g)(x_1,x_2)=\int_{0}^{\pi}g(x_1\cos\varphi+x_2\sin\varphi,\underline\theta)d\varphi$$ (17)

E' interessante osservare che mentre la trasformata di Radon integra sui tutti i punti di una retta, l'operatore di retroproiezione intrega su tutte le rette che passano per un punto.

Se si applica l'operatore di retroproiezione ai dati si ottiene una versione blurrata dell'oggetto. Infatti si può dimostrare che

$$(R^\char93 g)(\underline x)=(R^\char93 R f)(\underline x)=2... ...t\underline x-\underline x^\prime\vert}} d\underline x^\prime.$$