TRASFORMAZIONI DI COORDINATE

Coordinate omogenee

• Un punto e' descritto da una terna di coordinate cartesiane P = (X,Y,Z).
• Lo stesso punto e' descritto da infinite quadruple di coordinate omogenee P = (x,y,z,w), tutte quelle per cui
  • w < > 0
  • x/w = X
  • y/w = Y
  • z/w = Z
• Rappresentazione canonica: w=1, dunque P = (X,Y,Z,1).

Vantaggi dell'uso di coordinate omogenee:

• Consentono di rappresentare punti all'infinito (con w=0). Es: sorgenti luminose.
• Consentono di esprimere tutte le trasformazioni di coordinate in forma matriciale (ved. dopo).
  Il sistema memorizza una trasformazione (di modellazione, di vista, di proiezione) in una matrice M (matrice 4x4). Dato un punto P (vettore di 4 elementi), il risultato di applicare la trasformazione a P e' dato da P' = M P (moltiplicazione matrice vettore).

Trasformazioni di modellazione

Sono trasformazioni rigide (mantengono le proporzioni fra le parti dell'oggetto).

Poiche' i nostri oggetti (primitive geometriche) sono descritti in termini di vertici, basta applicare la trasformazione ai vertici.

Traslazione

Parametro = vettore di traslazione (tx,ty,tz).

Se P = (x,y,z) e' un punto, il punto traslato e' P' = (x+tx,y+ty,z+tz) = (x,y,z) + (tx,ty,tz).

In coordinate omogenee e forma matriciale (provare per credere):

[x']    [1 0 0 tx] [x]
[y']  = [0 1 0 ty] [y]
[z']    [0 0 1 tz] [z]
[1]     [0 0 0 1 ] [1]

Scalatura

Adesso vediamo scalatura con punto fermo l'origine.

Parametri = fattori di scala (sx,sy,sz), uno per ogni asse del sistema di riferimento.

Se P = (x,y,z) e' un punto, il punto scalato e' P' = (sx*x,sy*y,sz*z).

In coordinate omogenee e forma matriciale (provare per credere):

[x']    [sx 0  0  0] [x]
[y']  = [0  sy 0  0] [y]
[z']    [0  0  sz 0] [z]
[1]     [0  0  0  1] [1]

Nota: se i fattori di scala sono negativi, ottengo una riflessione speculare.

Rotazione

Nota: anziche' una retta ed un verso di rotazione, posso dare una retta orientata (il verso di rotazione e' quello che appare antiorario guardando nella direzione opposta a quella della retta).

Adesso vediamo rotazione attorno ad uno degli assi coordinati, per esempio l'asse z.

Parametri: angolo di rotazione alfa (alfa > 0 per senso antiorario, alfa < 0 per senso orario).

Se P = (x,y,z) e' un punto, il punto ruotato e' P' = (x',y',z') dove:

• x' = x*cos(alfa) - y*sin(alfa)
• y' = x*sin(alfa) + y*cos(alfa)
• z' = z

In coordinate omogenee e forma matriciale (provare per credere):

[x']    [cos(alfa)  -sin(alfa)  0 0] [x]
[y']  = [sin(alfa)   cos(alfa)  0 0] [y]
[z']    [0           0          1 0] [z]
[1]     [0           0          0 1] [1]

Analogamente le matrici di rotazione per rotazione attorno all'asse x ed y sono uguali all'identita' tranne per le righe e colonne corrispondenti alle coordinate yz e xz.

La matrice di rotazione per rotazione attorno ad una retta generica passante per l'origine ha forma piu' complicata, che non vediamo.

La rotazione attorno ad una retta non passante per l'origine si ottiene come combinazione di trasformazioni (ved. dopo).

Composizione di trasformazioni

• traslazioni dato il vettore di traslazione (tx,ty,tz)
• scalature con punto fermo l'origine dati i fattori di scala (sx,sy,sz)
• rotazioni attorno ad una retta passante per l'origine dato l'angolo di rotazione alfa ed un vettore (rx,ry,rz) parallelo all'asse di rotazione

Composizione = eseguire le trasformazioni in sequenza.

Sequenza di trasformazioni = moltiplicazione in sequenza delle rispettive matrici.

L'ordine da sinistra a destra in cui scrivo le matrici nella moltiplicazione e' opposto all'ordine in cui applico le trasformazioni.

Se P e' un punto, ed M1, M2 sono due matrici di trasformazione, la moltiplicazione M1 M2 P applica a P prima M2 e poi M1.

Scalatura tenendo fermo un punto generico

• Traslo per portare C nell'origine: traslo di vettore (-x0,-y0,-z0)
• Scalo con i fattori di scala assegnati
• Traslo per portare l'origine in C (cioe' far tornare C al suo posto): traslo di vettore (x0,y0,z0)

Rotazione attorno ad un asse passante per un punto generico

Proprieta' della composizione di trasformazioni

La composizione di trasformazioni dello stesso tipo e' commutativa (traslazioni con traslazioni, scalature con fermo lo stesso punto, rotazioni attorno allo stesso asse).

Trasformazioni di vista

• la posizione del punto di vista V = (vx,vy,vz)
• i versori dei tre assi del sistema di riferimento dell'occhio i = (ix,iy,iz), j = (jx,iy,jz), k = (kx,ky,kz)

Primo modo: lo faccio a mano

Dato un punto P espresso in coordinate di vista, voglio trovare le coordinate di P espresse in coordinate dell'occhio.

1. Traslazione che porta V nell'origine: vettore di traslazione (-vx,-vy,-vz).
   Esempio: se la mia scena e' centrata nell'origine di WC e voglio vederla da V = (10,0,0) la traslo indietro di 10 unita' lungo l'asse x.
2. Rotazione che porta gli assi x,y,z dell'occhio a coincidere con gli assi x,y,z di WC. Matrice di rotazione:

   [ix iy iz 0]      versore asse x
   [jx jy jz 0]      versore asse y
   [kx ky kz 0]      versore asse z
   [0  0  0  1]
   

   Secondo modo: lo faccio fare al sistema

   Il sistema (es: OpenGL) fornisce una funzione che permette di specificare una trasformazione di vista dando:
   • le coordinate V = (vx,vy,vz) dell'occhio nel sistema WC (view reference point): sara' l'origine del sistema dell'occhio
   • le coordinate del centro della scena C, che assieme a V determina la direzione di vista come la direzione del vettore VC: sara' l'asse z negativo del sistema dell'occhio (invece CV e' la normale al piano di vista, view plane normal)
   • un vettore non parallelo a VC, la cui componente perpendicolare a VC determina la direzione dell'alto (view up vector): sara' l'asse y del sistema dell'occhio
   Manca un asse (asse x) del sistema dell'occhio: il sistema lo calcola automaticamente come il prodotto vettoriale dei due assi noti.

   Quando conviene usare l'uno o l'altro modo

   In generale e' difficile costruire a mano la rotazione. Puo' essere facile in casi particolari. Esempio:
   • la direzione di vista e' parallela ad uno degli assi coordinati di WC (basta una rotazione attorno a quell'asse per portare gli altri due assi in posizione)
   • gli angoli di rotazione sono gestiti interattivamente dall'interfaccia utente
   Esempio:

   Nel programma Simple3D.java il punto di vista puo' orbitare attorno alla scena in base a due angoli (latitudine, longitudine) controllati dall'utente. La scena in coordinate del mondo e' centrata nell'origine. La trasformazione di vista consiste in: rotazione attorno all'asse z (di angolo longitudine), rotazione attorno all'asse x (di angolo latitudine), traslazione per portare il punto di vista ad una certa distanza dalla scena.
   In questo caso usare il secondo modo sarebbe piu' complicato perche' dovrei calcolare a mano la posizione del punto di vista in coordinate del mondo con funzioni trigonometriche.
   Nota: il programma richiede anche il file BasicGL.java (usato negli esercizi di laboratorio). Le rotazioni si ottengono muovendo il mouse con il testo premuto all'interno della finestra grafica.

   Trasformazioni di proiezione

   • Proiezione parallela: proietta con un fascio di rette parallele, mantiene le proporzioni relative tra gli oggetti.
   • Proiezione prospettica: proietta con un fascio di rette centrate in un punto, non le mantiene le proporzioni (amplifica gli oggetti vicini, riduce quelli lontani).
   • Proiezione ortografica: caso particolare di proiezione parallela dove il fascio di rette e' perpendicolare al piano di proiezione.
   Vediamo solo le seconde due (sono quelle disponibili in OpenGL).

   Proiezione ortografica

   In un sistema grafico definita fornendo un volume di vista che e' un parallelepipedo retto con facce allineate con le direzioni dei piani coordinati del sistema di riferimento dell'occhio.

   Tale parallelepipedo e' descritto dalle sue coordinate xyz minime e massime.

   • x fra left e right
   • y fra bottom e top
   • z fra near e far
   

   Il parallelepipedo viene traslato e scalato per coincidere con il cubo NPC.

   Proiezione prospettica

   In un sistema grafico definita fornendo, in coordinate dell'occhio, un volume di vista che e' un tronco di piramide le cui facce laterali convergono nel punto di vista (= origine), e le cui basi sono parallele al piano xy dell'occhio.
   • sulla base minore del tronco di piramide, le x sono fra left e right
   • sulla base minore del tronco di piramide, le y sono fra bottom e top
   • le z del tronco di piramide sono fra near e far
   L'intervallo delle x e delle y sulla base maggiore del tronco di piramide si desumono a partire dalle informazioni di cui sopra.
   

   Il tronco di piramide viene deformato (dilatando la parte vicina, restringendo la parte lontana) per coincidere con il cubo NPC. Non e' una trasformazione rigida!

   Come si deformano gli oggetti

   Vediamo come si deformano le coordinate x,y in una trasformazione prospettica.

   O = punto di vista (origine), P = (x,y,z) = punto nel volume di vista.

   Nella trasformazione, il punto P riceve le stesse coordinate x ed y di tutti i punti giacenti sulla retta congiungente OP, in particolare le stesse coordinate del punto P' = (x',y',near) intersezione di OP con la base minore della piramide.

   Vediamo per esempio la coordinata y. In figura la sezione con piano di taglio il piano x=0:
   

   Il rapporto fra y' ed y dice quanto la y di P viene compressa/dilatata.

   Sfruttando la similitudine fra i triangoli OHP e OH'P' otteniamo y' = y * near/z

   Piu' P e' vicino al punto di vista (z minore) e piu' la y viene dilatata.

   Analogamente la x si ottiene x' = x * near/z

   Poi viene eseguita la normalizzazione per ridurre l'intervallo dei valori delle coordinate fra -1 ed 1.