MURST 2000 - Modello A - Visualizza modello

Problemi inversi nell'imaging medico

Inverse problems in medical imaging

L'imaging medico è un importante campo di ricerca interdisciplinare con contributi dalla matematica, dalla fisica, dalla medicina e dall'ingegneria. La maggior parte dei problemi matematici dell'imaging medico appartengono alla classe dei problemi inversi poiché la distribuzione spaziale dei parametri dei tessuti deve essere ottenuta a partire da misure indirette.

Lo scopo di questo progetto è di mettere assieme i matematici italiani che lavorano su questi problemi e di stimolare la loro collaborazione con fisici e medici, allo scopo di produrre nuovi risultati in svariati argomenti legati all'imaging medico.

Le tecniche di imaging prese in considerazione sono la tomografia a emissione di fotone singolo (SPECT), la risonanza magnetica, l'ecocardiografia 3D e la tomografia a microonde, mentre gli argomenti studiati comprendono la modellizzazione matematica, l'unicità e la stabilità delle soluzioni, i metodi per l'inversione numerica, la pre-elaborazione dei dati, l'implementazione parallela ed infine la verifica di metodi di inversione in alcune applicazioni cliniche. Ovviamente non tutti questi argomenti verranno studiati per le tecniche di imaging sopra ricordate, come spiegato nel programma del progetto.

Come risultato del progetto, ci si aspetta di produrre non solo risultati teorici e nuovi metodi numerici ma anche software prototipale per la maggior parte dei problemi specifici considerati.

Medical imaging is an important cross-disciplinary domain with contributions from physics, mathematics, medicine and engineering. Most of the mathematical problems of medical imaging belong to the class of inverse problems since the spatial distribution of the tissues parameters must be recovered from indirect measurements.

The aim of this project is to bring together the italian mathematicians working on these problems and to stimulate their collaboration with physicists and physicians to produce new results in various topics related to medical imaging.

The specific imaging techniques considered are single photon emission computed tomography (SPECT), Magnetic Resonance imaging, 3D echocardiography and microwave tomography, while the topics investigated include mathematical modeling, uniqueness and stability of solutions, methods for numerical inversion, data preprocessing, parallel implementation and, finally, validation of inversion methods for some clinical applications. Obviously not all these topics will be investigated for the imaging techniques mentioned above, as explained in the program of the project.

As a result of the project it is expected to produce not only new theoretical results and new numerical methods, but also prototype software for most of the specific problems considered.

BERTERO	MARIO
(cognome)	(nome)

Professore ordinario	14/03/1938	BRTMRA38C14L750L
(qualifica)	(data di nascita)	(codice di identificazione personale)

Università degli Studi di GENOVA	Facoltà di SCIENZE MATEMATICHE FISICHE e NATURALI
(università)	(facoltà)
K05B	Dipartimento di INFORMATICA E SCIENZE DELL'INFORMAZIONE
(settore scient.discipl.)	(Dipartimento/Istituto)

010/3536733	010/3536699	bertero@disi.unige.it
(prefisso e telefono)	(numero fax)	(E-mail)

Mario Bertero, nato nel 1938, ha conseguito la laurea in Fisica nel 1960 presso l'Università di Genova e la libera docenza in Fisica Teorica nel 1968. Dopo svariati incarichi di ricerca e di insegnamento presso le Università di Genova, Bonn e Bruxelles, nel 1981 è diventato professore ordinario di Analisi matematica presso l'Università di Genova e dal 1995 è professore ordinario di Elaborazione di Immagini presso la stessa Università. Dal 1990 al 1994 è stato honorary editor della rivista "Inverse Problems". Nel 1991 ha organizzato un workshop NATO su "Inverse Problems in Scattering and Imaging", Cape Cod, USA, e nel 1998 un Convegno Internazionale sui Problemi Inversi, Vietri sul Mare. È autore e coautore di circa cento pubblicazioni e coautore di un libro. I suoi attuali interessi di ricerca riguardano la teoria dei problemi inversi e non ben posti e le loro applicazioni alla microscopia, l'astronomia, la sismologia e l'imaging medico.

Mario Bertero, born in 1938, received the "laurea" in Physics from the University of Genova in 1960 and the "libera docenza" in Theoretical Physics in 1968. After several research and teaching appointments at the Universities of Genova, Bonn and Bruxelles, in 1981 he became professor in Mathematics at the University of Genova and from 1995 he is professor in Information Sciences at the same University. From 1990 to 1994 he was honorary editor of the journal "Inverse Problems". In 1991 he organized a NATO workshop on "Inverse problems in scattering and imaging", Cape Cod, USA, and in 1998 an International Conference on Inverse Problems, Vietri sul Mare, Italy. He is author and coauthor of about 100 papers and coauthor of one book. His current research interests are in the theory of inverse and ill-posed problems and in their applications to various domains of applied science such as microscopy, astronomy, seismology, image restoration and medical imaging.

Nº	Responsabile scientifico	Qualifica	Settore disc.	Università	Dipart./Istituto	Mesi uomo
1.	BERTERO MARIO	Prof. ordinario	K05B	GENOVA	INFORMATICA E SCIENZE DELL'INFORMAZIONE	226
2.	FORMICONI ANDREAS ROBERT	Ricercatore	E10X	FIRENZE	FISIOPATOLOGIA CLINICA	48
3.	ALESSANDRINI GIOVANNI	Prof. ordinario	A02A	TRIESTE	SCIENZE MATEMATICHE	123
4.	LOLI PICCOLOMINI ELENA	Ricercatore	A04A	BOLOGNA	MATEMATICA	145
5.	ROMANI FRANCESCO	Prof. ordinario	K05B	PISA	INFORMATICA	112
6.	MURLI ALMERICO	Prof. ordinario	A04A	NAPOLI	MATEMATICA E APPLICAZIONI	69

	mesi uomo
Personale universitario dell'Università sede dell'Unità di Ricerca (docenti)	398
Personale universitario dell'Università sede dell'Unità di Ricerca (altri)	22
Personale universitario di altre Università (docenti)	72
Personale universitario di altre Università (altri)	0
Titolari di assegni di ricerca	51
Titolari di borse dottorato e post-dottorato	67
Personale a contratto	34
Personale extrauniversitario	79
Totale	723

Il progetto intende coordinare l'attività di ricercatori in Matematica, Informatica, Fisica e Medicina con l'obiettivo di sviluppare nuovi metodi, algoritmi e software nell'applicazione dei Problemi Inversi alle tecniche emergenti di imaging biomedico. Più in dettaglio, le tecniche considerate sono le seguenti:
1) Tomografia ad emissione di fotone singolo (SPECT);
2) imaging da risonanza magnetica (MRI);
3) ecocardiografia 3D;
4) tomografia a microonde.
Tenendo presente che lo strumento matematico ad esse comune è costituito dai cosiddetti metodi di regolarizzazione per la risoluzione di problemi inversi lineari e non lineari e mal posti, adatti al trattamento di un elevato numero di dati, per ognuna delle tecniche di imaging prima elencate descriviamo gli obiettivi specifici del progetto e indichiamo le unità coinvolte nel particolare problema.
Il principale obiettivo per le immagini SPECT è quello di sviluppare software prototipale, sia sequenziale che parallelo (usando piattaforme parallele a basso costo), per compensare gli effetti di blurring del collimatore e di attenuazione. Il punto di partenza è un modello approssimato per descrivere il blurring 3D del collimatore, proposto dall'unità di Genova e denominato 2D+1, che permette ricostruzioni tridimensionali accurate con una riduzione dei tempi di calcolo di un ordine di grandezza rispetto a un modello 3D. Lo scopo finale è quello di ottenere la ricostruzione di un volume in pochi minuti, un tempo di calcolo che sarebbe compatibile con un uso clinico. Le unità coinvolte in questa parte del progetto sono quelle di Firenze, Genova e Napoli. È inoltre previsto di validare i metodi d'inversione in un ambito clinico quale la diagnosi precoce del morbo di Alzheimer. Verranno studiate, in collaborazione con l'unità di Pisa, nuove prospettive nell'applicazione del calcolo con matrici strutturate a problemi di tomografia: tale approccio è innovativo e può essere di grande aiuto per ridurre i tempi di calcolo.
Nel caso della MRI si richiede il restauro di sequenze di immagini sottocampionate utilizzando informazioni da una singola immagine ad alta risoluzione (immagine di riferimento). Come punto di partenza verrà considerato il metodo RIGR. Il suddetto metodo verrà migliorato sia considerando diverse versioni del problema di ottimizzazione associato, sia attraverso la scelta di funzioni di base, quali spline, wavelet etc., più convenienti rispetto a quelle usate nella versione originale del metodo. Inoltre, l'impiego di tali funzioni darà luogo ad algoritmi d'inversione più efficienti. I nuovi metodi ed algoritmi verranno validati su dati clinici ottenuti dall'unità di Firenze con un sistema MRI da 1.5 Tesla, usando sia sequenze spin-eco standard che sequenze EPI veloci. L'applicazione specifica riguarderà studi sulla perfusione cerebrale. Le unità coinvolte in questa parte del progetto sono quelle di Bologna e Firenze.
Il tema principale affrontato dall'ecocardiografia 3D è l'uso dei metodi di denoising e di definizione dei contorni basati su filtri di diffusione non lineari. Ciò sarà ottenuto utilizzando sia la regolarizzazione basata sulla Variazione Totale sia tecniche di analisi multiscala; in ogni caso il problema viene ricondotto alla soluzione di equazioni alle derivate parziali paraboliche non lineari. Inoltre, poiché in molti casi è necessario elaborare numerosi fotogrammi con una risoluzione molto alta, l'efficienza numerica dei metodi è un requisito basilare anche in questo. Lo scopo è sviluppare algoritmi paralleli e relativo software, utilizzando opportuni schemi per ridurre l'ingombro di memoria ed appositi precondizionatori per accelerare la convergenza delle tecniche iterative. I diversi metodi verranno validati attraverso immagini ecocardiografiche 3D fornite dal TomTEC e dall'Università di Cleveland. Le unità coinvolte in questa parte del progetto sono quelle di Bologna e Napoli.
Verranno infine considerati due tipi diversi di tomografia a microonde: ad impulso chirp e a frequenza costante. Nel primo caso verrà studiata un'apposita modellizzazione del problema allo scopo di ottenere un metodo d'inversione più accurato di quello in uso nel prototipo sviluppato in Giappone presso l'Università di Niigata. I suddetti metodi ed algoritmi verranno testati su dati grezzi forniti dagli ingegneri dell'Università di Niigata. Nel secondo caso la ricerca è ancora ad uno stadio molto preliminare. È infatti necessario dimostrare anzitutto un teorema di unicità riguardante la determinazione del supporto di un ostacolo a partire dai dati tridimensionali di scattering. Tale risultato dovrebbe permettere di estendere al caso 3D un metodo lineare, già utilizzato nel problema 2D, per determinare la forma dell'ostacolo, che eviterebbe di risolvere un problema inverso di scattering non lineare. Le unità coinvolte in questa parte del progetto sono quelle di Genova e Trieste. In particolare, le competenze dell'unità di Trieste sui problemi inversi di valori al contorno sono indispensabili per ottenere i suddetti risultati teorici.

The project will coordinate the activity of researchers in Mathematics, Computer Science, Physics and Medicine with the aim of developing new methods, algorithms and software in the application of Inverse Problems to emerging biomedical imaging. More specifically, the techniques considered in the project are the following: 1) Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT); 2) Magnetic Resonance Imaging (MRI); 3) 3D echocardiography; 4) microwave tomography. Having in mind that the common mathematical background is provided by methods for the solution of linear and nonlinear inverse and ill-posed problems, the so-called regularization methods, suitable to the treatment of large sets of data, for each one of the imaging techniques indicated above we describe the specific objectives of the project and we indicate the groups involved in that particular problem.
As concerns SPECT imaging, the main objective is to produce prototype software, both sequential and parallel (using low-cost parallel machines), compensating for collimator blur and attenuation. The starting point is an approximate model for the description of the 3D collimator blur, proposed by the group in Genova and denoted as 2D+1 model, which allows accurate 3D reconstructions with a reduction of the computation time by an order of magnitude with respect to a 3D model. The goal is to obtain the restoration of a volume in a few minutes, a computation time which is acceptable in a clinical environment. The groups involved in this part of the project are those of Florence, Genova and Naples. Validation of the method on medical applications such as early diagnosis of Alzheimer desease is also planned. New perspectives in the application of structured matrices computation to tomographic problems will be investigated in collaboration with the group of Pisa: this is a new approach which may greatly help in the reduction of the computation time.
In the case of MRI the problem is the restoration of sequences of low-resolution images using information from a high resolution image (reference image). As a starting point the RIGR method will be considered. Improvements of this method will be investigated both by considering various versions of the underlying optimization problem and by using basis functions, such as splines, wavelets etc., which are more suitable than those used in the original version of the method. The use of these functions will also provide more efficient numerical algorithms. The new methods and algorithms will be validated on clinical data obtained by means of the 1.5 Tesla machine of the University of Florence, using both standard spin-echo sequences and fast EPI sequences. The specific application will concern brain perfusional studies. The groups involved in this part of the project are those of Bologna and Florence.
The main topic addressed in 3D echocardiography is the use of methods for denoising and contour enhancement based on nonlinear diffusion filtering. This will be performed using both TV-based regularization and multiscale analysis. In each case the problem is reduced to the solution of nonlinear parabolic PDE's. Moreover, since in many cases it is necessary to process sequences of frames with a very high resolution, efficiency is a basic issue also in this case. The aim is to develop parallel algorithms and the related software, using suitable schemes for reducing storage requirements and suitable preconditioners for accelerating the convergence of iterative restorations. The various methods will be validated by means of 3D echocardiographic images provided by TomTEC and the University of Cleveland. The groups involved in this part of the project are those of Bologna and Naples.
Two different kinds of microwave tomography will be considered: chirp pulse and constant frequency. In the first case a suitable modelling of the system will be investigated with the goal of obtaining inversion methods more accurate than that used in the prototype developed at Niigata University, Japan. The methods and algorithms will be tested on data provided by the engineers of Niigata University. In the second case the research is still at a very fundamental level. Indeed, it is necessary to prove, as a preliminary result, a uniqueness theorem concerning the determination of the support of an obstacle from 3D scattering data. Such a result should allow the extension to the 3D case of a linear method, already used in the 2D case, for the determination of the shape of the obstacle, which could avoid the solution of a nonlinear inverse scattering problem. The groups involved in this part of the project are those of Genova and Trieste. In particular the expertises of the Trieste group in inverse boundary value problems are essential for obtaining the theoretical results mentioned above.

L'invenzione nel 1972 della Tomografia Computerizzata a raggi X (X-ray CT) ha rappresentato una rivoluzione nell'imaging medico, fornendo non solo uno strumento diagnostico potente e innovativo, ma anche un modello per altre tecniche di imaging [1,2]. Ad esempio, i vecchi metodi quantitativi della medicina nucleare si sono evoluti nelle tecniche di imaging conosciute come Tomografia ad emissione di fotone singolo (SPECT) e Tomografia ad emissione di positrone (PET).
Dal punto di vista del matematico, la caratteristica importante di tali tecniche era quella di richiedere la soluzione di interessanti problemi matematici per generare le immagini da calcolatore. Il problema basilare nella X-ray CT è infatti l'inversione della trasformata di Radon [3,4].
Oggi l'imaging medico è un settore interdisciplinare molto attivo, in cui vengono studiati un gran numero di nuovi metodi fisici e problemi matematici correlati [5]. In tutti i casi, per ottenere la distribuzione nello spazio dell'entità fisica che si vuole visualizzare a partire dai dati misurati (i cosiddetti dati grezzi), è necessario risolvere un problema matematico che appartiene alla classe dei problemi inversi.
Problemi inversi sia lineari che non lineari sono motivati dai vari metodi dell'imaging medico [5,6]. La loro caratteristica comune è quella di essere mal posti nel senso di Hadamard, cosicché devono essere utilizzati metodi di regolarizzazione [7,8] per ottenere soluzioni significative. Questi metodi sono il punto di partenza per l'analisi numerica dei problemi inversi e alimentano un altro filone di ricerca molto interessante.
I problemi inversi dell'imaging medico sono infatti caratterizzati da insiemi di dati in numero molto elevato, cosicché, anche nel caso di problemi lineari, non è banale progettare algoritmi efficienti d'inversione. A questo scopo è molto importante sfruttare la sparsità e la struttura delle matrici che derivano dalla discretizzazione del modello matematico associato al problema.
Quattro delle sei unità partecipanti al progetto sono formate da matematici ed informatici, le altre due riuniscono ricercatori di diversi settori. Tale struttura è in accordo col carattere interdisciplinare dell'imaging medico. Inoltre, la maggioranza delle unità ha una lunga esperienza di ricerca nel campo dei problemi inversi con legami con l'imaging medico, altre in campi della matematica che sono fondamentali per una soluzione efficiente dei problemi inversi. Tutte hanno collaborazioni internazionali su argomenti legati alla materia di questo progetto. Una più dettagliata informazione può essere trovata nei programmi delle varie unità, come una lista delle pubblicazioni più rilevanti. Riassumiamo qui in forma sintetica le rispettive competenze.
L'unità multidisciplinare di Firenze ha lavorato principalmente nella tomografia ad emissione, in particolare SPECT, e le sue applicazioni alla medicina nucleare. Ha un'esperienza concreta su questo sistema di imaging, essendo in stretto contatto con gruppi di medici che usano tale tecnica in ambito clinico.
I ricercatori di Firenze sono interessati sia alla modellizzazione accurata dei processi coinvolti nell'imaging, che ai metodi d'inversione più adatti. Si sono principalmente dedicati alla ricostruzione di dati SPECT, con particolare attenzione alla possibilità di sperimentare nuovo software e nuovi metodi matematici attraverso i dati acquisiti nella routine clinica. Un altro vantaggio per l'unità di Firenze è quello di avere accesso ai dati grezzi di una macchina per imaging a risonanza magnetica funzionale (fMRI), e tale opportunità apre nuove linee di ricerca verso lo sviluppo e la sperimentazione di nuovi algoritmi d'inversione per sequenze di immagini in MRI dinamico.
La componente di medicina dell'unità multidisciplinare di Genova ha una prolungata esperienza nell'uso di un sistema SPECT anulare per studi in vari campi della neuroscienza, in particolare la perfusione cerebrale. I risultati più recenti ottenuti in questo campo riguardano la Demenza e le correlazioni tra i dati di perfusione del cervello, l'elettroencefalogramma quantitativo e la neuropsicologia.
Inoltre, i matematici, i fisici e gli informatici dell'unità hanno una lunga esperienza sui problemi inversi e le loro applicazioni nei vari campi della scienza applicata. Per esempio, i metodi basati sulla decomposizione a valori singolari di un operatore lineare sono stati analizzati ed applicati a problemi come la spettroscopia a correlazione di fotoni (in cui il problema di base è l'inversione della trasformata finita di Laplace) e la microscopia confocale. Gli interessi di ricerca più recenti riguardano problemi di restauro di immagini astronomiche (astronomia all'infrarosso, immagini multiple interferometriche, etc.) e l'imaging medico, in particolare la SPECT e l'imaging a microonde.
Per quanto riguarda le unità matematiche, per la maggior parte si occupano di analisi numerica. Fa eccezione l'unità di Trieste che lavora su questioni di unicità e stabilità per problemi inversi di valori al contorno legati ad equazioni alle derivate parziali (PDE) di tipo ellittico. Sono di particolare rilievo i risultati di stabilità che sono stati ottenuti per il problema inverso di conducibilità, che fornisce il modello matematico per la Tomografia ad impedenza elettrica (EIT). Come è noto, essa è una tecnica di imaging non invasiva con molteplici applicazioni nella medicina e nell'industria, che ha lo scopo di visualizzare la distribuzione di conducibilità all'interno di un volume test effettuando misure elettriche sulla sua superficie. La tecnica è veloce, economica e portabile ma ha lo svantaggio di una scarsa risoluzione in confronto ad altre tecniche di imaging. I risultati di stabilità sono basilari per capire questa caratteristica della EIT.
Le competenze dell'unità di Bologna riguardano il campo dell'algebra lineare e del calcolo parallelo, con particolare attenzione ai problemi discreti mal posti, ai sistemi lineari e non lineari di grandi dimensioni e all'elaborazione di immagini. In particolare, sono stati sviluppati metodi iterativi per risolvere problemi legati all'inversione di matrici mal condizionate di dimensione elevata e per calcolare opportuni filtri regolarizzanti. Altri filoni di ricerca riguardano i metodi per l'elaborazione di immagini basati sull'analisi wavelet e multiwavelet ed i metodi per l'analisi di sequenze di immagini nell'ecocardiografia 2D e 3D.
L'unità di Napoli ha competenze sia nella risoluzione numerica di problemi inversi che nel calcolo parallelo. Per ciò che riguarda i problemi inversi, i problemi specifici studiati sono stati l'inversione numerica della trasformata di Laplace ed i metodi di regolarizzazione, basati sul funzionale di Variazione totale, per il restauro di immagini. Va inoltre segnalato che questa unità ha collaborato con successo allo sviluppo di programmi di base sequenziali e paralleli per la libreria NAG ed altre librerie internazionali. La lunga esperienza di questa unità sul software matematico sarà importante per lo sviluppo di software prototipale per alcuni problemi che riguardano il progetto.
Infine, l'unità di Pisa ha dato numerosi contributi all'elaborazione e all'analisi di algoritmi numerici, con particolare attenzione all'affidabilità, all'efficienza, alla complessità e alle applicazioni, nel campo del calcolo con matrici strutturate e, in particolare, del calcolo matriciale di Toeplitz. Sono stati scoperti in quest'ambito algoritmi efficienti per risolvere problemi in teoria delle code e in algebra computazionale. In entrambe le applicazioni il software che implementa i nuovi metodi si è rivelato molto più veloce di quello attualmente disponibile (con fattori di accelerazione di diverse centinaia). Il coinvolgimento delle competenze di questo gruppo nei problemi dell'imaging medico (che sono per loro nuovi) può essere molto promettente, dal momento che molti dei loro risultati sono già ben noti alla comunità internazionale che lavora sulle immagini.
Esistono già alcune collaborazioni tra le unità sopra elencate. Per quanto riguarda l'imaging SPECT, le unità di Firenze e Genova stanno collaborando su nuovi ed efficienti metodi per la correzione del blur del collimatore; alcuni di questi metodi sono stati già implementati ed utilizzati in ambito clinico. Sono stati inoltre stabiliti contatti preliminari tra questi gruppi e l'unità di Napoli allo scopo di studiare i problemi legati all'implementazione di tali metodi su piattaforme parallele a basso costo.
In aggiunta, è stata stabilita una collaborazione tra le unità di Firenze e Bologna sul problema di ricostruire sequenze di immagini nella MRI dinamica. Le competenze del gruppo di Bologna sulla risoluzione numerica di problemi discreti mal posti e la disponibilità di un sistema MR da parte del gruppo di Firenze rendono questa collaborazione molto promettente.

The invention of X-ray Computed Tomography (X-ray CT) in 1972 was a revolution in medical imaging. Not only it provided a new and powerful diagnostic tool but also a model for other imaging techniques [1,2]. For instance the old quantitative methods of nuclear medicine evolved into the imaging techniques known as Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT) and Positron Emission Tomography (PET). From the point of view of a mathematician, the important feature of these techniques was that the solution of interesting mathematical problems was required to generate the images by a computer. Indeed, the basic problem in X-ray CT is the inversion of the Radon transform [3,4].
Nowadays medical imaging is a very active cross-disciplinary domain and a lot of new physical methods and related mathematical problems are investigated [5]. In all cases, in order to obtain the spatial distribution of the physical quantity to be imaged from the measured data (the so-called raw data), it is necessary to solve a mathematical problem which belongs to the class of the inverse problems.
Both linear and nonlinear inverse problems are motivated by the various methods of medical imaging [5,6]. Their common feature is that they are ill-posed in the sense of Hadamard, so that regularization methods [7,8] must be used for obtaining sensible solutions. These methods are the starting point of the numerical analysis of inverse problems, another very interesting research area. Indeed, inverse problems of medical imaging are characterized by very large sets of data so that, even in the case of linear problems, it is not trivial to design efficient inversion algorithms. To this purpose, it is very important to use the sparsity and the structures of the matrices arising from the discretization of the mathematical model of the problem.
Four of the six groups participating in the project consist of researchers in Mathematics and Computer Science while two are multi-disciplinary, with also researchers in Physics and Medicine. This structure is in agreement with the cross-disciplinary character of medical imaging. In addition most of the groups have a long research experience in the area of inverse problems, with connections to medical imaging, others in mathematical domains which are fundamental for an efficient solution of inverse problems. All have international collaborations on topics related to the subject of this project. More detailed information on their activity as well as lists of the most relevant publications can be found in their programs. Here we give a synthetic summary of their expertises.
The activity of the multi-disciplinary group in Florence concerns mainly emission tomography, namely SPECT, and its applications to nuclear medicine. They have concrete experience on this imaging system since are strictly related to medical groups using this technique in a clinical environment. They are interested in the accurate modeling of the processes involved in the imaging as well as in the most appropriate inversion methods. They focused mainly on the reconstruction of SPECT data, paying much attention to the possibility of experimenting new mathematical methods and software with data acquired in the clinical routine. Another facility of the group in Florence is the access to the raw data of a machine for functional Magnetic Resonance Imaging (fMRI), and this opportunity opens new research lines in the direction of developing and testing new inversion algorithms for sequences of images in dynamic MRI.
The medical component of the multi-disciplinary group in Genova has a long-term experience in the use of an annular SPECT system for studies in various fields of Neuroscience, in particular in cerebral perfusion. The most recent results obtained in this field concern Dementia and the correlations between brain perfusional data, quantitative EEG and neuropsychology. In addition, the researchers in Mathematics, Physics and Computer Science of the group have a long-standing experience on inverse problems and their applications to various domains of applied science. As an example, methods based on the singular value decomposition of a linear operator were investigated and applied to problems such as photon correlation spectroscopy (where the basic problem is the inversion of the finite Laplace transform) and confocal microscopy. More recent research interests are in problems of image restoration in astronomy (infrared astronomy, multiple interferometric images, etc.) and in medical imaging, in particular SPECT and microwave imaging.
As concerns the mathematical groups, most of them are involved in numerical analysis. However the group in Trieste is working on questions of uniqueness and stability for inverse boundary value problems for elliptic Partial Differential Equations (PDE). Especially relevant the results of stability obtained for the inverse conductivity problem, which provides the mathematical model of Electrical Impedance Tomography (EIT). As it is well-known, this is a noninvasive imaging technique with widespread applications in medicine and industry. It aims to image the conductivity distribution within a test volume by making electrical measurements on the surface of the volume. The technique is fast, inexpensive and portable but has the disadvantage of a poor resolution if compared with other imaging techniques. The stability results are basic for understanding this feature of EIT.
The expertises of the group in Bologna are in the field of linear algebra and parallel computing, with particular attention to discrete ill-posed problems, linear and non-linear systems of large dimension and image processing. In particular, iterative methods have been developed for solving problems related to the inversion of large ill-conditioned matrices and computing suitable regularization filters. Other domains of activity are methods based on wavelet and multiwavelet analysis for image processing and methods for the analysis of sequences of images in 2D and 3D echocardiography.
The group in Naples has expertises both in the numerical solution of inverse problems and in parallel computing. As concerns inverse problems, the specific problems investigated were the numerical inversion of the Laplace transform and the regularization methods, based on the Total variation functional, for the problem of image restoration. It must be also pointed out that this group has collaborated successfully on the development of serial and parallel basic programs for the NAG-Library and other international libraries. The long-standing experience of this group on mathematical software will be important for the development of prototype software for some of the problems considered in this project.
Finally, the group in Pisa has given many contributions to the design and analysis of numerical algorithms, with particular attention to reliability, efficiency, complexity and applications, in the field of structured matrix computations and, in particular, Toeplitz matrix computations. Along these lines, efficient algorithms for solving problems in queueing theory and in computer algebra have been devised. In both applications the software implementing the new methods is much faster than the currently available one (speed-up factors of several hundreds). The involvement of the expertises of these researchers in problems of medical imaging, which are new for them, may be very promising because many of their results are already well-known to the image processing community.
Some collaborations already exist among the groups mentioned above. As concerns SPECT imaging, the groups in Florence and Genova are collaborating on new and efficient methods for the correction of the collimator blur. Some of these methods have been already implemented and used in a clinical environment. Moreover preliminary contacts have been established between these groups and the group in Naples for investigating problems related to the implementation of these methods on low-cost parallel platforms.
A collaboration has been already established between the groups in Florence and Bologna on the problem of restoring sequences of images in dynamic MRI. The expertises of the group in Bologna on the numerical solution of discrete ill-posed problems and the facility of a MR system in Florence make this collaboration very promising.

[1] S.Webb ed., 1988, The Physics of Medical Imaging (Bristol: Institute of Physics Publishing)
[2] E.Krestel ed., Imaging Systems for Medical Diagnostics (Berlin: Siemens Aktiengesellschaft)
[3] F.Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (New York: Wiley)
[4] A.C.Kak and M.Slaney, The Principles of Computerized Tomographic Imaging (New York: IEEE Press)
[5] Committee on the Mathematics and Physics of Emerging Biomedical Imaging, 1996, Mathematics and Physics of Emerging Biomedical Imaging (Washington: National Academy Press)
[6] A.K.Louis, 1992, Medical imaging: state of the art and future development, Inverse Problems, 8, 709-738
[7] A.N.Tikhonov and V.Y.Arsenin, 1977, Solutions of Ill-Posed Problems (Washington: Winston/Wiley)
[8] H.W.Engl, M.Hanke and A.Neubauer, 1996, Regularization of Inverse Problems (Dordrecht: Kluwer)

Durata:	6 mesi		Costo previsto:	150 M£		77.469 Euro

Diverse collaborazioni sono già in atto tra le unità partecipanti al progetto, come indicato nella "Base di partenza scientifica". Tuttavia, per assicurare il successo del progetto è necessario coordinare tutte le unità, allo scopo di aumentare il numero di collaborazioni e di promuovere lo scambio di competenze. Pertanto la prima fase del progetto è dedicata a questi obiettivi e alla definizione di un preciso programma delle varie attività.
A questo scopo, entro i primi due mesi verrà organizzato un incontro dei responsabili e di altri ricercatori delle varie unità, nel quale verranno presentate e discusse le attività passate e future, al fine di stabilire i dettagli organizzativi e l'assegnazione dei diversi compiti.
Verrà posta particolare attenzione all'identificazione di quei punti del progetto nei quali sono richieste nuove collaborazioni tra le unità. Tali punti verranno ampiamente approfonditi in diversi incontri successivi tra le unità in essi coinvolte. Al termine dei sei mesi, un incontro dei responsabili locali determinerà la fattibilità dei diversi obiettivi e deciderà i compiti specifici delle varie unità.

Several collaborations are already in action between the groups which participate in the project, as indicated in "Base di partenza scientifica". However, in order to assure the success of the project it is necessary to coordinate all groups, to increase the number of collaborations and to promote the exchange of expertises. Therefore the first step of the project is devoted to these aims and to the definition of a precise plan of the various activities.
To this purpose, within the first two months it will be organized a meeting of the coordinators and other researchers of the groups, where the past and future activities will be presented and discussed, with the purpose of establishing organizational details and work assignments.
Special attention will be devoted to the identification of points of the program where new collaborations among the groups are required. These points will be thoroughly investigated during subsequent meetings of the groups involved in them. At the end of the six months a meeting of the coordinators will establish the feasibility of the various objectives and decide the tasks of the various groups.

Definizione del piano di lavoro finale, definizione delle specifiche del software sulla base dell'analisi dei metodi studiati dai partecipanti, scambio di informazioni e competenze tra le unità afferenti al progetto.

Definition of the final work plan, definition of the software specifications based on the analysis of the methods investigated by the partners, exchange of information and expertises between the groups participating in the project.

Durata:	18 mesi		Costo previsto:	665 M£		343.444 Euro

La descrizione del programma di ricerca è organizzata sulla base delle tecniche di imaging considerate, come indicato nell'"Obiettivo del programma di ricerca". Per tre di esse, precisamente SPECT, MRI ed Ecocardiografia 3D, i risultati attesi dal progetto saranno applicabili, in linea di principio, alla pratica clinica, ed alcune applicazioni sono già previste nel progetto. Per quanto riguarda la quarta, cioè l'imaging a microonde, la ricerca è ancora ad uno stadio piuttosto di base. È comunque atteso un miglioramento delle prestazioni di un prototipo di scanner a microonde, nonché l'introduzione di nuovi metodi che potrebbero rendere questa tecnica di imaging interessante per alcune applicazioni mediche.
1) IMMAGINI SPECT
Il modello matematico per il processo di acquisizione dei dati è in generale formulato in termini di una funzione di risposta o di una matrice di proiezione, pertanto il problema inverso consiste essenzialmente nell'invertire tale matrice. Nella SPECT essa deve tenere conto soprattutto degli effetti di blurring del collimatore e di attenuazione, dal momento che lo scattering viene in genere corretto da un preprocessing dei dati.
In lavori precedenti l'effetto del collimatore è stato corretto tramite una funzione di risposta determinata sperimentalmente misurando la Line Spread Function (LSF) del sistema [1]. Grazie ad una teoria sui collimatori "multihole" sviluppata recentemente [2], è ora possibile calcolare la funzione di risposta geometrica di un sistema SPECT. Questo compito sarà svolto dalle unità di Firenze e Genova per sistemi SPECT di diverse geometrie. La stessa teoria sarà sfruttata dall'unità di Firenze per studiare gli artefatti nell'imaging SPECT, dovuti all'uso di collimatori ad alta energia o di rivelatori a pixel.
I risultati della teoria dei collimatori multihole, in combinazione con un'opportuna approssimazione della funzione di risposta 3D, nota come modello 2D+1 [3], forniscono un'espressione semplice della matrice di proiezione che permette inversioni 3D in un tempo di calcolo equivalente a quello richiesto da una sequenza di inversioni 2D. La matrice di proiezione 2D+1 verrà determinata per la geometria parallela come per la fan beam, e verrà implementata nell'ambito di metodi iterativi quali il CG e l'OS-EM. Una correzione dell'attenuazione sarà ottenuta modificando il proiettore sotto l'ipotesi semplificativa di un coefficiente uniforme di attenuazione lineare. Inoltre, un'ulteriore riduzione del tempo di calcolo sarà ottenuta dall'uso di una coppia proiezione-retroproiezione basata su una rotazione della matrice immagine che ne allinea le colonne verso la direzione di collimazione [4]. Si prevede che l'implementazione del modello 2D+1 attraverso tecniche di rotazione possa dare un'ulteriore di riduzione del tempo di calcolo di un fattore 3.
Una via innovativa per migliorare ancora l'efficienza degli algoritmi d'inversione è suggerita dall'osservazione che i sistemi di scansione utilizzati nelle attrezzature mediche presentano, in generale, un'invarianza per traslazione e/o rotazione. Di conseguenza le matrici di proiezione sono strutturate, e questa proprietà può essere sfruttata per elaborare algoritmi veloci d'inversione.
L'unità di Pisa si occuperà di questo problema, in collaborazione con le altre unità che lavorano nell'imaging SPECT. Un obiettivo dell'unità è quello di produrre una libreria di programmi prototipali che implementino metodi avanzati per la soluzione di sistemi strutturati, in particolare con struttura a dislocamento, e che integrino vari risolutori, come il gradiente coniugato precondizionato, il multigrid algebrico e la riduzione ciclica. Per quanto riguarda il gradiente coniugato precondizionato, verranno considerati diversi precondizionatori, scelti in algebre matriciali legate a trasformate discrete veloci oppure a banda.
L'algoritmo d'inversione basato sul modello 2D+1 fornisce ricostruzioni tridimensionali accurate per geometrie sia parallele che fan beam, con un tempo di elaborazione stimato sull'ordine di 20-30 minuti su un comune PC (una CPU da 433 MHz). Tale risultato, anche se molto promettente, non basta ancora per un impiego diffuso in ambito clinico. Una riduzione del tempo di calcolo a pochi secondi, o al più a pochi minuti, difficilmente si può ottenere solo attraverso algoritmi sequenziali, anche se estremamente efficienti, cosicché è anche richiesto l'uso di calcolatori paralleli. Inoltre, l'uso clinico o eventualmente commerciale di questi metodi necessita di una loro implementazione su piattaforme parallele a basso costo.
Questo compito sarà svolto dall'unità di Napoli, con particolare riferimento ai metodi d'inversione per immagini SPECT forniti dalle unità di Firenze e Genova. L'ambiente di calcolo considerato sarà un calcolatore parallelo MIMD a memoria distribuita, basato su PC connessi da una rete di comunicazione rapida (almeno 100 Mb/sec) realizzata con un fast ethernet switch. Poiché gli algoritmi usati nei sistemi tomografici suggeriscono strategie naturali di parallelizzazione, saranno considerate queste in una prima fase della ricerca. In seguito sarà studiata la possibilità di adottare strategie di decomposizione più raffinate.
I medici afferenti alle unità di Genova e Firenze si occuperanno della validazione dei metodi d'inversione in applicazioni mediche specifiche, in particolare la diagnosi precoce del morbo di Alzheimer (AD). A questo scopo verrà selezionato un congruo numero di soggetti, comprendente sia malati di AD che individui sani di controllo. Tutti i pazienti saranno valutati in accordo con i criteri standard internazionali. In tutti i soggetti sarà eseguito uno studio di perfusione cerebrale attraverso una macchina SPECT. Verrà inoltre effettuato su tutti i pazienti un EEG quantificato (qEEG).
Allo scopo di valutare le immagini SPECT fornite dalle diverse tecniche di ricostruzione, sarà considerata un'area specifica quale l'ippocampo e la regione paraippocampale. Un lettore esperto di immagini SPECT selezionerà la Regione d'interesse (ROI) sull'area ippocampale. La correlazione dei dati di perfusione cerebrale, relativi alla ROI selezionata, con il qEEG ed i risultati neuropsicologici verrà valutata con lo scopo di identificare il metodi di ricostruzione SPECT avente il miglior indice di correlazione con gli altri accertamenti neurofisiologici. Inoltre il metodo migliore per identificare pazienti AD e soggetti sani di controllo verrà valutato mediante l'analisi discriminante.
2) IMMAGINI DA RISONANZA MAGNETICA
Da un paio d'anni una collaborazione tra le unità di Bologna e Firenze riguarda l'applicazione di metodi di restauro alle immagini da Risonanza magnetica (MRI). Tale collaborazione è nata dalla disponibilità di un sistema MRI da 1.5 Tesla presso il CIRM (Centro Interdipartimentale per lo studio della Risonanza Magnetica) di Firenze. Il problema consiste nella stima dinamica dei parametri funzionali mediante l'uso di una sequenza temporale di immagini. Esse sono in generale molto rumorose. Inoltre sono campionate in modo grossolano nello spazio di Fourier (il cosiddetto k-spazio), con l'eccezione della prima e dell'ultima immagine della sequenza (immagini di riferimento). Sono pertanto richiesti metodi specifici per il loro restauro.
I sistemi commerciali forniscono di solito un metodo di ricostruzione molto rozzo (il cosiddetto metodo keyhole) che consiste nel sostituire le componenti in frequenza mancante delle immagini dinamiche con le analoghe componenti mutuate dall'immagine di riferimento. Questo metodo dà scarsi risultati a causa delle forti discontinuità generate nel k-spazio. Un approccio molto più promettente è il metodo RIGR (Imaging a codifica ridotta tramite ricostruzione delle serie generalizzate) [5]; in questo caso le immagini che vanno ricostruite da dati sottocampionati sono rappresentate come combinazione lineare di funzioni di base di tipo esponenziale in cui è anche codificata l'informazione derivante dalle immagini di riferimento.
L'approccio è molto interessante, ma manca ancora un'implementazione in ambito clinico. Essendovi nel campo dell'imaging medico una forte richiesta d'informazione funzionale, è opportuno
a) studiare possibili miglioramenti del metodo di ricostruzione e
b) sviluppare un software user-friendly indipendente dalla piattaforma, per permettere ai radiologi di sperimentare tali nuovi metodi.
I nuovi metodi (punto a) precedente) saranno ottenuti prima di tutto esprimendo le immagini sotto forma di combinazione lineare di opportune funzioni di base, i cui coefficienti si ricavano come soluzione di un problema di ottimizzazione con vincoli rappresentati dall'informazione delle immagini di riferimento. Nel contesto di questo approccio sarà considerato l'uso di funzioni di base a supporto compatto, in particolare B-spline e wavelet, un argomento sul quale l'unità di Bologna vanta una lunga esperienza.
Tali funzioni sono molto adatte a rappresentare variazioni dinamiche localizzate nelle sequenze di immagini MR. Sono inoltre molto convenienti dal punto di vista computazionale, in quanto il supporto limitato delle funzioni di base riduce la complessità computazionale del problema. Questo è un aspetto importante per un uso futuro del metodo di ricostruzione in ambito clinico.
Riguardo al problema di ottimizzazione, esso è usualmente formulato in termini del funzionale di massima entropia. Tuttavia verranno studiati funzionali di altro tipo oltre all'uso di metodi di regolarizzazione, come richiesto dalla cattiva posizione del problema.
Per quanto riguarda il punto b), durante il precedente progetto "Analisi numerica: metodi e software matematico" l'unità di Bologna ha sviluppato in ambiente Matlab un software chiamato MRItool versione 1.0, per l'implementazione dei metodi di ricostruzione e la visualizzazione delle sequenze di immagini ricostruite. Il software è disponibile sul sito http://www.unife.it/AnNum97/~mritool e verrà aggiornato aggiungendo i nuovi metodi che saranno ottenuti durante il presente progetto.
Allo scopo di andare oltre i semplici studi di simulazione, gli algoritmi saranno applicati a dati ottenuti mediante la modalità di acquisizione disponibile sull'attrezzatura MRI di Firenze. La tecnica consiste nell'acquisizione di una serie temporale di immagini cerebrali dopo l'iniezione di un mezzo di contrasto paramagnetico. L'analisi quantitativa delle immagini permette di individuare il passaggio del mezzo di contrasto attraverso il cervello e, successivamente, di determinare la distribuzione spaziale dell'irrorazione sanguigna cerebrale.
3) ECOCARDIOGRAFIA 3D
Questa parte del progetto riguarda il restauro di sequenze di immagini ecocardiografiche 3D. L'ecocardiografia è di gran lunga la tecnica di imaging più usata per riconoscere malattie del miocardio, grazie alla sua non invasività, il facile utilizzo, il basso costo e l'affidabilità diagnostica. Inoltre la nuova metodologia 3D permette una valutazione accurata delle dimensioni e della forma dei ventricoli, anche nel caso di cavità con geometria irregolare, senza bisogno di particolari ipotesi. Un grave limite è la scarsa qualità degli ecogrammi, contaminati da grandi quantità di rumore che è intrinseco al metodo di acquisizione. Gli algoritmi tradizionali di pre-processing (medie mobili, filtri mediani e gaussiani) riducono il rumore sovrapposto alle immagini ma non preservano i contorni. Negli ultimi anni i filtri di diffusione legati ad equazioni non lineari alle derivate parziali si sono rivelati uno strumento potente e ben fondato nell'analisi multiscala di immagini. Tali modelli permettono di inserire informazioni a priori nell'evoluzione della scala spaziale, e portano ad una semplificazione dell'immagine che contemporaneamente conserva e per di più evidenzia informazioni semanticamente importanti, quali i contorni, le linee o le strutture di flusso. Metodi di filtraggio non lineare, basati su PDE, sono stati applicati alle immagini ecocardiografiche 3D negli ultimi anni, ma senza considerare la coerenza temporale dei successivi fotogrammi. L'algoritmo di elaborazione dovrebbe essere in grado di distinguere il rumore dai contorni nelle diverse strutture cardiache, utilizzando in maniera distinta coerenza spaziale e coerenza temporale.
Saranno sviluppati dall'unità di Bologna metodi specifici per questo tipo di pre-processing. I metodi considerati, noti come metodi di analisi multiscala, permettono di ridurre il rumore e di evidenziare i contorni mediante la soluzione di PDE paraboliche non lineari. Le tecniche in esame combineranno la diffusione anisotropa di Perona-Malik, l'equazione di Avarez, Guichard, Lions e Morel dell'analisi multiscala e l'equazione di diffusione geometrica di Osher e Sethian.
Verrà inoltre studiata l'ottimizzazione degli algoritmi. Infatti, nell'ecocardiografia 3D si deve elaborare sequenze di immagini con una risoluzione molto alta, ed il miglioramento di un'immagine richiede diversi passi iterativi, con la risoluzione ad ogni passo di un sistema lineare di grandi dimensioni (dimensione 256x256 oppure 256x256x256). I temi principali saranno pertanto la ricerca di schemi per ridurre l'ingombro di memoria e di precondizionatori adatti per accelerare le procedure iterative. Inoltre, le due unità di Bologna e Napoli collaboreranno a tale scopo sullo sviluppo di algoritmi paralleli.
Un altro argomento considerato in questa parte del progetto è legato al fatto che i coefficienti delle PDE coinvolte possono avere ampie variazioni, e/o possono essere necessari valori alti del parametro di scala. In questi casi occorre risolvere sistemi lineari mal condizionati; saranno analizzati sia nuovi risolutori efficienti applicabili a tali situazioni, sia nuovi criteri di arresto. L'unità di Napoli si occuperà di sperimentare i metodi di regolarizzazione a Variazione Totale (TV), che sono stati riconosciuti come un approccio fattibile per una ricostruzione accurata di immagini rumorose che conservi i contorni. Il metodo risulta particolarmente adatto nei casi in cui il gradiente della funzione da ricostruire presenta forti discontinuità. La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è una PDE non lineare che risulta singolare in quei punti in cui il gradiente della funzione si annulla. Saranno studiati algoritmi e software corrispondente per il suddetto problema. Particolare attenzione sarà dedicata ad algoritmi paralleli efficaci; ciò comporterà un'analisi dei metodi esistenti, come il marching temporale, i metodi del punto fisso e di Newton.
I vari algoritmi saranno validati su immagini ecocardiografiche 3D fornite dal TomTEC e dall'Università di Cleveland (Volumetrics Comp.).
4) IMMAGINI A MICROONDE
Nel progetto verranno analizzate due modalità di tomografia a microonde: a) sollecitazione tramite impulsi chirp, la cosiddetta Tomografia Computerizzata a Microonde ad impulso chirp (CP-MCT) e b) sollecitazione tramite segnali a frequenza fissata.
L'uso delle microonde nell'imaging medico ha lo svantaggio, rispetto alle tecniche usuali (Tomografia a raggi X e Risonanza Magnetica), di una risoluzione più bassa, ma anche il vantaggio, in certe situazioni, di un migliore contrasto. Per esempio, le variazioni di temperatura nel corpo umano implicano variazioni significative non nella densità, ma in alcuni parametri elettrici. Analogamente, nel caso della leucemia, le cellule maligne hanno circa la stessa densità del midollo osseo, ma proprietà elettriche molto diverse. Quindi la termometria non invasiva e la diagnosi precoce della leucemia sono due possibili applicazioni dell'imaging a microonde.
Per tessuti biologici la banda di frequenze corrispondente al miglior compromesso tra risoluzione ed attenuazione è 1-3 GHz. In questa banda si ha una risoluzione dell'ordine del centimetro e un'attenuazione dell'ordine di qualche db/cm, cosicché è possibile una profondità di esplorazione di 20-30 cm: questo è sufficiente per alcune applicazioni mediche, come descritto prima. La difficoltà sta nel fatto che in questa banda di frequenze non sono applicabili i modelli lineari per il problema inverso di scattering coinvolto.
Tuttavia, nel caso a) della CP-MCT, la modalità di acquisizione dei dati fa sì che l'impiego dell'algoritmo basilare della tomografia, la FBP (Retroproiezione Filtrata) è giustificato solo parzialmente. Quest'algoritmo è quello implementato sul prototipo sviluppato da M. Miyakawa presso l'Università di Niigata; i dati provenienti da tale prototipo saranno usati per testare i metodi e gli algoritmi considerati nel progetto.
Questo problema verrà indagato dall'unità di Genova in collaborazione con le altre unità che lavorano sulle immagini SPECT. I due problemi presentano infatti forti analogie dal punto di vista matematico. Il successo dell'applicazione della FBP alla CP-MCT suggerisce che, come nella SPECT, si può ottenere un miglioramento introducendo un'opportuna matrice di proiezione.
Questa matrice può essere calcolata mediante un approccio semi-fenomenologico, misurando le proiezioni di diversi fantocci cilindrici. I relativi dati saranno forniti dal gruppo dell'Università di Niigata. Verrà inoltre messo a punto un modello per il processo di acquisizione dei dati. Di conseguenza la soluzione del problema diretto sarà ricondotta alla soluzione di un'equazione integrale, che può essere utilizzata per ricavare espressioni approssimate ma semplici della matrice di proiezione. I risultati teorici e sperimentali saranno confrontati per ottenere un modello che risulti di facile calcolo ed applicabile all'inversione dei dati sperimentali. Appena il modello della matrice di proiezione sarà a disposizione, i metodi e gli algoritmi sviluppati nel progetto per le immagini SPECT saranno direttamente applicabili a quest'altro problema. Il software verrà testato sul prototipo dell'Università di Niigata.
Riguardo al caso b) della tomografia a microonde con segnali a frequenza fissa, il problema principale che verrà analizzato è l'estensione al caso 3D di un semplice metodo che è stato proposto nel caso 2D per determinare la forma di un ostacolo a partire dai dati di scattering. Dal momento che tale metodo è lineare, in linea di principio dovrebbe fornire, per esempio nell'applicazione alla diagnosi di leucemia, una tecnica veloce per stabilire l'esistenza di cellule maligne nel midollo osseo. Tuttavia, per provare la validità di questo semplice metodo occorre dimostrare un teorema di unicità per il problema inverso di scattering tridimensionale. Più precisamente, bisogna dimostrare che il supporto di un ostacolo può essere dedotto in modo unico dai dati di scattering. Nel caso dell'equazione di Maxwell tale risultato è noto nel caso 2D ma non è ancora dimostrato nel caso 3D, anche se si hanno indizi in questo senso.
Essendo ben noto (vedi ad esempio [6]) che i problemi inversi di scattering ed i problemi inversi di valori al contorno sono strettamente legati fra loro, questa parte del progetto verrà affrontata dalle unità di Genova e Trieste. Sono infatti state dimostrate le competenze della seconda sui metodi derivanti dalla teoria dei problemi inversi di valori al contorno, ed in particolare sulle stime quantitative di prolungamento unico e sui metodi delle soluzioni singolari. Tali competenze sono tutte cruciali per ottenere il difficile risultato descritto prima.
Inoltre, l'unità di Trieste si occuperà dei risultati di unicità e stabilità per altri problemi inversi di valori al contorno. Alcuni di essi sono legati ad altre tecniche di imaging medico, quali la EIT, Tomografia ad Impedenza Elettrica. Nonostante tale tecnica non sia esplicitamente dichiarata nel presente progetto, l'interazione tra l'unità di Trieste, che ha essenzialmente una preparazione teorica, e le altre unità del progetto può aprire nuove prospettive anche in questa direzione.

[1] A.R.Formiconi, A.Pupi, A.Passeri, 1989, Compensation of spatial system response in SPECT with conjugate gradient reconstruction technique, Phys. Med. Biol., 43, 69-84
[2] A.R. Formiconi, 1998, Geometrical response of multihole collimators, Phys. Med. Biol., 43, 3359-3379
[3] P.Boccacci, P.Bonetto, P.Calvini, A.R.Formiconi, 1999, A simple model for the efficient correction of collimator blur in 3D SPECT imaging, Inverse Problems", 15, 907-930
[4] J.W.Wallis, T.R.Miller, 1997, An optimal rotator for iterative reconstruction, "IEEE Trans. Med. Imag.", MI-16, 118-123
[5] P.C.Lauterbur, Z.P.Liang, 1994, An efficient method for dynamic Magnetic Resonance Imaging, IEEE Trans. Med. Imag., MI-13, 677-686
[6] J. Sylvester, 1994, The Cauchy data and the scattering amplitude, Comm. Partial Diff. Equations, 19, 1735-1741

The description of the research program is organized on the basis of the imaging techniques which will be considered, as indicated in "OBIETTIVO DEL PROGRAMMA DI RICERCA". For three of them, namely SPECT, MRI and 3D Echocardiography, the results expected from the project will be applicable, in principle, to the clinical practice and some applications are already planned in the project. As concerns the fourth one, namely microwave imaging, the research is still at a rather fundamental level. Anyway an improvement of the imaging properties of a prototype of microwave scanner is expected as well as new methods which could make this imaging modality interesting for some medical applications.
1) SPECT IMAGING
The mathematical model for the process of data acquisition is, in general, formulated in terms of a response function or also of a projection matrix, so that the inverse problem essentially amounts to invert this matrix. In SPECT it must take into account essentially the effects of collimator blur and attenuation since scatter is usually corrected by data preprocessing.
In previous work the collimator effect has been corrected by means of a response function determined experimentally by measuring the Line Spread Function (LSF) of the system [1]. Thanks to a recently developed theory of multihole collimators [2] it is now possible to compute the geometric response function of a SPECT system. This task will be carried out by the groups in Florence and Genova for various geometries of SPECT systems. The same theory will be used by the group in Florence for investigating the artifacts in SPECT imaging due to the use of high energy collimators or pixelled detectors.
The results of the theory of multihole collimators, combined with a suitable approximation of the 3D response function, denoted as 2D+1 model [3], provide a simple expression of the projection matrix which allows 3D inversions with a computation time equivalent to that required by a sequence of 2D inversions. The 2D+1 projection matrix will be determined both for parallel and for fan beam geometry and will be implemented in iterative methods such as CG and OS-EM. Attenuation correction will be obtained by modifying the projector under the simplifying assumption of a uniform linear attenuation coefficient. Moreover a further reduction of computation time will be obtained by the use of a projection-backprojection pair based on a rotation of the image matrix to align its columns with the direction of collimation [4]. We estimate that the implementation of the 2D+1 model by means of rotational techniques gives a further reduction in computational time by a factor of 3.
A new route for a further improvement of the efficiency of the inversion algorithms is suggested by the observation that the scanning systems used in medical equipments have, in general, a translational and/or a rotational symmetry. As a consequence the projection matrices are structured and this property can be used for developing fast inversion algorithms.
The group in Pisa will be concerned with this problem, in collaboration with the other groups working on SPECT imaging. One of the aims of the group is to produce a library of prototype programs implementing advanced methods for the solution of structured systems, in particular with displacement structure, and integrating various solvers, such as preconditioned conjugate gradient, algebraic multigrid and cyclic reduction. As concerns preconditioned conjugate gradient, various preconditioners will be considered such as preconditioners in matrix algebras related to fast discrete transforms and band preconditioners.
The inversion algorithm based on the 2D+1 model provides accurate 3D reconstructions both for parallel and fan beam geometry, with a computation time which has been estimated to be of the order of 20-30 minutes on a commonly available PC (one 433 MHz CPU). Such a result, even if very promising, is not yet sufficient for a widespread use in a clinical environment. A reduction of the computation time to a few seconds or, at most, to a few minutes can hardly be obtained by using only sequential algorithms, even the most efficient ones, so that the use of parallel computers is also required. Moreover the clinical or, eventually, the commercial use of these methods implies that they must be implemented on a low-cost parallel platform.
This task will be considered by the group in Naples, focussing on inversion methods for SPECT imaging, provided by the groups in Florence and Genova. The computing environment considered will be a parallel MIMD distributed memory computer based on PC's connected by a fast communication network (at least 100 Mb/sec) obtained with a fast ethernet switch. Since the algorithms used in tomographic systems suggest natural parallelization strategies, these will be considered in the first stage of the research. Subsequently the possibility of more refined decomposition strategies will be investigated.
Validation of the inversion methods for a specific medical application, namely the early diagnosis of Alzheimer Desease (AD), will be considered by the medical doctors of the groups in Genova and Florence. To this purpose a suitable number of subjects, including both AD patients and control subjects, will be selected. All patients will be clinically evaluated according to the standard international criteria. In all subjects a brain perfusional study will be performed by a SPECT device. Moreover all patients will undergo a quantitative EEG (qEEG).
To evaluate SPECT images, as obtained by the different reconstruction techniques, a specific area, such as the hyppocampus and the para-hyppocampal region will be considered. An expert SPECT reader will select the Region of Interest (ROI) upon the hyppocampal areas. The correlation between brain perfusional data from the selected ROI and both qEGG and neuropsychological results will be assessed with the purpose of identifying the SPECT reconstruction method which reaches the best correlation index with the other neurophysiological investigations. Moreover the best method for identifying AD patients and healthy controls will be evaluated by a discriminant analysis.
2) MAGNETIC RESONANCE IMAGING
Since a couple of years a collaboration between the groups of Bologna and Florence concerns the application of restoration methods to Magnetic Resonance Imaging (MRI). The collaboration was originated by the availability of a 1.5 Tesla MRI system at CIRM (Centro Interdipartimentale per lo studio della Risonanza Magnetica), in Florence. The problem is the dynamical estimation of functional parameters by using a temporal sequence of images. These images are, in general, very noisy. Moreover they are poorly sampled in Fourier space (the so-called k-space) except the first and the last image in the sequence (reference images). Therefore specific methods for their restoration are required.
Commercial systems usually provide a very rough reconstruction method (the so-called keyhole method) which consists in replacing the missing frequency components in the dynamic images with the corresponding components taken from the reference images. This method gives poor results because of the sharp discontinuities generated in the k-space. A much more promising approach is the RIGR (Reduced-encoding Imaging by Generalized series Reconstruction) method [5]; here the images to be restored from undersampled data are represented as linear combination of basis functions of exponential type where information derived from the reference images is also encoded.
The approach is quite interesting but its implementation in clinical environment is still missing. Since in the realm of medical imaging there is a strong medical demand of functional information it is worthwhile
a) to investigate on possible improvements of the reconstruction method and
b) to develop a user-friendly platform-independent software to let radiologists experiment these new methods.
The new methods (the point a) above) will be obtained, first of all, by representing the images as linear combinations of suitable basis functions whose coefficients are obtained as a solution of an optimization problem with constraints represented by the information on the reference images. In the framework of this approach the use of basis functions of bounded support will be considered, in particular B-splines and wavelets, a topic where the group in Bologna has a long-term experience.
These functions are very suitable to represent localized dynamical variations in sequences of MR images. In addition they are also very convenient from the computational point of view since the bounded support of the basis functions will reduce the computational complexity of the problem. This is an important issue for the future use of the restoration method in clinical environment.
As concerns the optimization problem, this is usually formulated in terms of the maximum entropy functional. However other types of functionals will be investigated as well as the use of regularization methods, as required by the ill-posedness of the problem.
As concerns point b), during the previous project "Analisi Numerica: Metodi e Software Matematico", the group in Bologna has developed, in Matlab environment, a software package, denoted MRITool ver.1.0, for the implementation of the restoration methods and the visualization of the sequences of restored images. This software is available on the site http://www.unife.it/AnNum97/~mritool and will be updated by inserting the new methods which will be obtained during this project.
In order to go beyond mere simulation studies, the algorithms will be applied to data obtained by means of the acquisition modality available on the MRI facility in Florence. The technique consists in the acquisition of a time series of brain images after the injection of a paramagnetic contrast agent. The quantitative analysis of the images allows detecting the passage of the contrast agent through the brain and, subsequently, to determine the spatial distribution of blood perfusion in the brain.
3) 3D ECHOCARDIOGRAPHY
This part of the project concerns the restoration of sequences of 3D echocardiographic images. Echocardiography is largely the most wide-spread imaging technique for recognition of miocardial desease because of its noninvasiveness, easy use, low cost and effectiveness of diagnosis. Moreover the new 3D methodology allows accurate evaluation of chambers size and shape, even in case of cavity with irregular geometry without the need of particular assumptions. A serious drawback is the poor quality of echograms, affected by a high amount of noise intrinsically linked to the acquisition method. Traditional pre-processing algorithms (moving average, median and gaussian filtering) reduce the noise superimposed to the images but do not preserve boundaries.
During the last years nonlinear partial differential equation diffusion filters have become a powerful and well-founded tool in multiscale image analysis. These models allow to include a-priori knowledge into the scale space evolution, and they lead to an image simplification which simultaneously preserves or even enhances semantically important information, such as edges, lines, or flow-like structures. Nonlinear filtering methods based on partial differential equations have been applied in the last years to 3D echocardiographic images, however, without considering the time coherence of successive echocardiographic frames. The processing algorithm should be able to distinguish the noise from the contours of the different cardiac structures by using in a distinct way spatial and temporal coherence.
Specific methods for this type of preprocessing will be developed by the group in Bologna. The methods considered, known as multiscale analysis methods, allow noise reduction and contour enhancement by solving nonlinear parabolic PDE's. The approaches considered will combine the Perona-Malik anisotropic diffusion, the equation of the multiscale analysis of Avarez, Guichard, Lions and Morel as well as the equation of geometric diffusion of Osher and Sethian.
The optimization of the algorithms will also be considered. Indeed, in 3D echocardiography one has to process sequences of images with a very high resolution and the improvement of one image requires several iterative steps, with the solution, at each step, of large linear systems (of order 256 x 256 or 256 x 256 x 256). Therefore schemes for reducing storage requirements and suitable preconditioners for accelerating the iterative procedures will be the main issues. In addition, to this purpose the two groups of Bologna and Naples will collaborate on the development of parallel algorithms.
Another topic considered in this part of the project is related to the fact that the coefficients of the involved PDE's may have large variations, and/or large values of the scale parameter are needed. In these cases one has to solve ill-conditioned linear systems. New efficient solvers applicable to these situations as well as new stopping rules will be investigated. The group in Naples will focus on the experimentation of Total Variation (TV) regularization methods which have been recognized as a viable approach to an accurate, feature preserving, reconstruction of noisy images. The approach is very suitable in cases where the gradient of the function to be restored has strong discontinuities. The corresponding Euler-Lagrange equation is a nonlinear PDE which is singular at those points where the gradient of the function is zero. Algorithms for this problem and the corresponding software will be considered . The attention will be focused on efficient parallel algorithms. This task will require an analysis of the existing methods, in particular time marching, fixed point and Newton methods.
The various algorithms will be validated using 3D echocardiographic images provided by TomTEC and the University of Cleveland (Volumetrics Comp.)
4) MICROWAVE IMAGING
Two modalities of microwave tomography will be considered in the project: a) excitation by means of chirp pulses, the so-called Chirp-Pulse Microwave Computed Tomography (CP-MCT) and b) excitation by means of fixed frequency signals.
The use of microwaves for medical imaging has the disadvantage, with respect to the usual techniques (X-ray Tomography and Magnetic Resonance), of a poorer resolution but the advantage, in certain situations, of a better contrast. For instance temperature variations inside the human body do not lead to significant variations of the density but lead to significant variations of electrical parameters. Analogously, in the case of leukemia, the malignant cells have roughly the same density as the bone marrow, but very different electric properties. Therefore non-invasive thermometry and early leukemia diagnosis are two possible applications of microwave imaging.
For biological tissues the frequency range corresponding to the best compromise between resolution and attenuation is 1-3 GHz. In this range we have a resolution of about 1 cm and an attenuation of a few db/cm so that an exploration depth of 20-30 cm is possible. This is sufficient for some medical applications as those mentioned above. The difficulty is that in this frequency region linear models for the underlying inverse scattering problem are not applicable.
However, in the case a) of CP-MCT, the modality of data acquisition is such that the use of the basic algorithm of tomography, the FBP (Filtered Backprojection) is partially justified. This is the algorithm implemented on the prototype developed by M. Miyakawa at Niigata University, and data coming from this prototype will be used for testing the methods and algorithms considered in the project.
This problem will be investigated by the group in Genova in collaboration with the other groups working on SPECT imaging. Indeed the two problems have strong similarities from the mathematical point of view. The success of the application of FBP to CP-MCT indicates that as in SPECT an improvement can be obtained by introducing a suitable projection matrix.
This matrix can be derived by means of a semi-phenomenological approach by measuring the projections of various cylindrical phantoms. These data will be provided by the group at Niigata University. In addition a model for the data acquisition process will be developed. As a result the solution of the direct problem will be reduced to the solution of an integral equation, which can be used for obtaining approximate but simple expressions of the projection matrix. Thoretical and experimental results will be compared for obtaining a model which is both computable and applicable to the inversion of experimental data. Once this model of the projection matrix is available, the methods and algorithms developed in the project for SPECT imaging are directly applicable to this problem. The software will be validated on the prototype at Niigata University.
As concerns the case b) of microwave tomography with fixed-frequency signals the main problem, which will be considered, is the extension to the 3D case of a simple method which has been proposed in the 2D case for the determination of the shape of an obstacle from scattering data. Since this method is linear, in principle it should provide, for instance in the application to leukemia diagnosis, a fast method for establishing the existence of malignant cells in the bone marrow. However the proof of the validity of this simple method requires the proof of a uniqueness theorem for the inverse 3D scattering problem. More precisely it is required to prove that the support of an obstacle can be uniquely recovered from scattering data. In the case of Maxwell equation such a result is known in the 2D case but not yet proved in the 3D case, even if there are indications in this direction.
Since it is known (see, for instance, [6]) that inverse scattering problems and inverse boundary value problems are strictly intertwined, this part of the project will be considered by the groups in Genova and Trieste. Indeed, the last one has proven his expertise on methods from the theory of inverse boundary value problems and, in particular, on quantitative estimates of unique continuation and on the method of singular solutions. All these expertises are crucial for obtaining the difficult result mentioned above. In addition the group of Trieste will work on uniqueness and stability results for other inverse boundary value problems. Some of them are related to another medical imaging modality, namely EIT, Electrical Impedence Tomography. Even if this modality is not explicitly considered in this project, the interaction between the Trieste group, which has essentially a theoretical background, and the other groups in the project may open new perspectives also in this direction.

[1] A.R.Formiconi, A.Pupi, A.Passeri, 1989, Compensation of spatial system response in SPECT with conjugate gradient reconstruction technique, Phys. Med. Biol., 43, 69-84
[2] A.R. Formiconi, 1998, Geometrical response of multihole collimators, Phys. Med. Biol., 43, 3359-3379
[3] P.Boccacci, P.Bonetto, P.Calvini, A.R.Formiconi, 1999, A simple model for the efficient correction of collimator blur in 3D SPECT imaging, Inverse Problems", 15, 907-930
[4] J.W.Wallis, T.R.Miller, 1997, An optimal rotator for iterative reconstruction, "IEEE Trans. Med. Imag.", MI-16, 118-123
[5] P.C.Lauterbur, Z.P.Liang, 1994, An efficient method for dynamic Magnetic Resonance Imaging, IEEE Trans. Med. Imag., MI-13, 677-686
[6] J. Sylvester, 1994, The Cauchy data and the scattering amplitude, Comm. Partial Diff. Equations, 19, 1735-1741

1) Software prototipale per immagini SPECT, sia sequenziale che parallelo (implementato nell'ultimo caso su piattaforme parallele a basso costo), validato in ambito clinico ed applicabile a diverse geometrie di scansione, capace di correggere il blur del collimatore e di includere correzioni dell'attenuazione.
2) Una libreria di programmi prototipali nel campo del calcolo con matrici strutturate per la soluzione e la regolarizzazione di sistemi di grandi dimensioni e mal condizionati legati a matrici Toeplitz-like ad elementi scalari e a blocchi.
3) Versione aggiornata del software MRITool comprensiva di nuovi metodi di ricostruzione per sequenze di immagini da Risonanza Magnetica.
4) Software prototipale per il denoising e l'evidenziamento di contorni per sequenze di immagini ecocardiografiche 3D.
5) Software prototipale per la CP-MCT.

1) Prototype software for SPECT imaging, both serial and parallel (in the last case implemented on low-cost parallel platforms), validated in clinical environment and applicable to various scanning geometries, aimed to correct collimator blur and including attenuation corrections.
2) A library of prototype programs in the field of structured matrix computation for the solution and the regularization of large and ill-conditioned systems involving Toeplitz-like matrices with scalar and block elements.
3) Updated version of the software package MRITool including new restoration methods for sequences of MRI images.
4) Prototype software for denoising and contour enhancement of sequences of 3D echocardiographic images.
5) Prototype software for CP-MCT.

In qualunque progetto scientifico, la valutazione dei risultati è basata prima di tutto sul livello scientifico dei risultati ottenuti, il quale è garantito dalla rilevanza internazionale delle riviste in cui essi vengono pubblicati. Nei progetti di matematica computazionale, un altro parametro è la qualità dei metodi numerici e del software che implementa tali metodi.

Allo scopo di rendere possibile una valutazione del progetto sulla base di questi criteri e nel contempo un controllo dell'evoluzione del progetto, si propongono incontri periodici, ogni sei mesi, del COMITATO DI PROGETTO (composto dai responsabili locali), al fine di discutere sia i risultati ottenuti dalle varie unità che lo sviluppo delle attività successive. Nella prima riunione saranno anche stabiliti i criteri per valutare la qualità del software.

A consuntivo di ogni incontro sarà prodotto un rapporto sullo stato di avanzamento del progetto, che includerà tutta la documentazione necessaria. Il suddetto rapporto sarà inserito in una pagina web che verrà allestita per il progetto e che conterrà tutte le informazioni rilevanti.

In any scientific project, the evaluation of the results is first of all based on the scientific level of the results obtained, which is guaranteed by the international reputation of the journals where the results are published. In projects on computational mathematics, another parameter is the quality of the numerical methods and of the software implementing these methods.

In order to make possible an evaluation of the project on the basis of these criteria as well as a control of the evolution of the project, we propose periodic meetings, every six months, of the PROJECT COMMITTEE, formed by the coordinators of the local groups, with the purpose of discussing the results obtained by the various groups as well as the development of their subsequent activity. In the first meeting the criteria for the evaluation of software quality will also be established.

The output of each meeting will be a report on the state of advancement of the project, including all the necessary documentation. This report will be inserted in a web page which will be prepared for the project and will contain all relevant information.

Unità di ricerca	Voce di spesa																Totale
	Materiale inventariabile		Grandi Attrezzature		Materiale di consumo e funzionamento		Spese per calcolo ed elaborazione dati		Personale a contratto		Servizi esterni		Missioni		Altro		Totale
	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro
ALESSANDRINI GIOVANNI	15	7.747			4	2.066	1	516	25	12.911			51	26.339	40	20.658	136	70.238
BERTERO MARIO	70	36.152			50	25.823					20	10.329	70	36.152	90	46.481	300	154.937
FORMICONI ANDREAS ROBERT	10	5.165			6	3.099			50	25.823			30	15.494			96	49.580
LOLI PICCOLOMINI ELENA	60	30.987			5	2.582	10	5.165			15	7.747	63	32.537	20	10.329	173	89.347
MURLI ALMERICO					10	5.165					10	5.165	20	10.329			40	20.658
ROMANI FRANCESCO	15	7.747			15	7.747	10	5.165					30	15.494			70	36.152
TOTALE	170	87.798			90	46.481	21	10.846	75	38.734	45	23.241	264	136.345	150	77.469	815	420.912

Unità di ricerca	Voce di spesa
	RD		RA		RD+RA		Cofinanziamento richiesto al MURST		Costo totale del programma		Costo minimo
	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro	M£	Euro
ALESSANDRINI GIOVANNI	33	17.043	8	4.132	41	21.175	95	49.063	136	70.238	122	63.008
BERTERO MARIO	34	17.560	56	28.922	90	46.481	210	108.456	300	154.937	270	139.443
FORMICONI ANDREAS ROBERT	12	6.197	17	8.780	29	14.977	67	34.603	96	49.580	85	43.899
LOLI PICCOLOMINI ELENA			52	26.856	52	26.856	121	62.491	173	89.347	157	81.084
MURLI ALMERICO	12	6.197			12	6.197	28	14.461	40	20.658	35	18.076
ROMANI FRANCESCO	10	5.165	11	5.681	21	10.846	49	25.306	70	36.152	63	32.537
TOTALE	101	52.162	144	74.370	245	126.532	570	294.380	815	420.912	732	378.046

732 M£	378.046 Euro	(dal sistema, quale somma delle indicazioni dei Modelli B)
732 M£	378.046 Euro	(dal Coordinatore del Programma)